簡體 | 繁體
押寶的機率問題
過年的時候，一堆朋友聚在一起，免不了就擺起像右圖那樣的押寶賭局。這是很好玩的賭博，有膽的人輪流作莊家，其他的人就衡量自己能承擔的程度來押寶作賭客。不管有膽沒膽，想要贏的心情是一樣的，大伙在吆喝聲中，很快就帶動了新春的活力。
我們玩的壓寶，一般的規則是這樣的。有六個格子讓賭客來押錢，押好離手，莊家就向碗中擲出三粒骰子。三粒骰子之中，如果都沒有出現賭客押中的數字，錢就被莊家沒收；如果有一粒骰子符合，莊家就照賠，如果兩粒骰子符合，莊家就賠兩倍，如果三粒都符合就賠三倍。
從來就賭運欠佳的老五，輸了錢不服氣，很自然的跟朋友們吵起了莊家和賭客雙方各自的機率問題。爭吵的題目是：在這樣的規則之下，是莊家佔便宜還是賭客佔便宜？
一派人主張雙方都沒有佔便宜，因為從賭客的眼光來看，如果莊家擲一粒骰子，他就有六分之一的機率贏 (這一點大家都同意)，所以，如果擲兩粒骰子，他就有六分之二的機率贏，現在是擲三粒骰子，就應該是六分之三、也就是一半的機率贏，反過來說，也就是一半的機率輸，所以雙方是完全公平的。
有人認為賭客佔便宜，因為他可能贏雙倍或是三倍，而莊家最多只能贏檯面上押的錢。
老五則直覺上認為應該是莊家佔便宜，但是在年糕、紅燒肉、約翰走路、紅酒、老母雞湯、葷素拼盤的交相作用之下，大家其實都是腦袋昏昏的，講不出所以然。僵持不下的結果，決定打個賭，老五和對方主將各出台幣兩千元，放到公正人士手中，等腦筋清楚了再來決定。
回家一想，問題還不是那麼簡單，要下結論還得花一些工夫才行，還好，對方也很灑脫，聲稱只要老五把整個問題說個清楚，就心甘情願的認輸，面對這樣的挑戰，老五自然是欣然接受。
先用十元硬幣代替骰子來作一個比較簡單的說明。
它的一面是老蔣頭，我們簡稱為 "頭"，另一面是梅花，我們簡稱為 "花"。
丟硬幣跟擲骰子的道理是一樣的，只是每丟一個硬幣，押中的機率是二分之一而不是六分之一。
如果一次丟一枚硬幣，情況就很單純。假設賭客押一百元，那麼他贏的機率是 1/2，硬幣丟出去，他的數學期望值是五十元；但是他輸的機率也是 1/2，數學期望值就是負的五十元，所以，莊家和賭客是公平的。
但是，假設我們用兩枚硬幣而不是一枚，一枚稱為 A，一枚稱為 B。
A 幣丟下的時候，有 2 種可能，不是 A-頭，就是 A-花，而且兩者可能性完全相同。
B 幣亦然。
我們如果一次丟下兩個硬幣，它們的組合就有 2 * 2 = 4 種可能：A-頭配 B-頭，A-頭配 B-花，A-花配 B-頭，A-花配 B-花。基本前提是，如果是普通硬幣，沒有人去作手腳的話，那麼每一種組合出現的可能性完全相同。
我們假設賭客押了 "頭"。
在 4 種組合之中，賭客有 3 種組合是贏：A-頭配 B-頭，A-頭配 B-花，A-花配 B-頭 (因為，只要出了一個頭他就算贏)。因為這 4 種組合出現的可能性完全相同，所以我們知道他贏的機率是 3/4。
要用這樣簡單的組合方法來算最後的機率，有三個基本前提：第一，這些組合要涵蓋全部可能的情況；第二，每一種組合發生的可能性要一樣；第三，每一種組合要是互斥的 (即，一種組合發生的時候，其它的組合就不可能發生)。
用這樣簡單的思考，就可以算出賭客贏錢的 "機率"，但是這還沒有到下結論的時候，因為我們在考慮莊家和賭客是不是公平對賭的時候，考慮的不應該是機率而應該是 "數學期望值"。譬如說，我們到賭場去賭輪盤，勝的機率只有三十七分之一，我們不會就此說那不公平，因為贏了就贏三十多倍！也就是說，賭客押好離手，莊家一出手，雙方的數學期望值必須是一樣的，才能說是公平的對賭。
如果大家在中學學過數學就會知道，在賭博這個課題中，數學期望值就是實得值乘上機率。譬如說你去買彩票，獎額是一百萬，中獎的機率是百萬分之一，那麼你這張彩票的數學期望值是一元。在這種情況之下，如果你買彩票的錢是一元，我們就可以說那是公平的對賭 (當然，實際的賭場或彩票情況一定是對賭客不公平的，否則就沒有人會來經營賭場或彩票了！)
在兩個硬幣的例子當中，莊家有贏和輸兩種情況。譬如說賭客押二十元，莊家贏的話就得二十元，而我們剛才已經算過了，莊家贏的機率是四分之一，那麼我們就可以說，當他兩個硬幣一擲下去的時候，他在贏的情況的數學期望值是五元。
因此，假設賭客在這一把贏的數學期望值也是五元，我們就可以說這是公平的對賭。我們剛才已經算出來，他贏的機率是 3/4，所以我們應該規定，他押二十元，贏的話只能得 20/3 元。
這邊要注意一點：第一個硬幣投下去，他贏的機率是 1/2，第二個硬幣亦然，但是總合來講，他贏的機率不是 1/2 + 1/2。也就是說，當天有人主張賭客贏的機率是 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2 是不對的。
如果在中學時學過機率，那麼以上的情況是可以用簡單的數學式來算出來的。如果一次丟兩枚硬幣，賭客贏的機率是 1/2 + (1 - 1/2) * 1/2 = 3/4。在骰子來講，如果一次丟兩粒，賭客贏的機率是 1/6 + (1 - 1/6) * 1/6 = 11/36；像我們一次丟三粒，則賭客贏的機率是 11/36 + (1 - 11/36) * 1/6 = 91/216 (不是 1/2！)。
要作一個通式來計算這個機率則似乎相當困難，但是用電腦程式就很簡單。用 C 程式為例，我們可以作一個函式如下：
double calculate_probability (int cases, int multiple)
{
int int1;
double probability;
probability = 0;
for (int1 = 0; int1 < multiple; int1 ++)
{
probability = probability + (1 - probability) * (1 / (double) cases);
}
return probability;
}
譬如說，我們用兩顆四面體的骰子，就如下呼叫這個函式就可以得到贏的機率：
probability = calculate_probability (4, 2);
再回到我們的賭博現場。
每一粒骰子靜下來的時候，都有六種可能的數字，一次擲 A B C 三粒骰子，總共的可能的組合就有 6 * 6 * 6 = 216 種。假設每一粒骰子和那個碗都作得很完美，則每一種組合的可能性都相同。
重點是，這 216 種組合符合了我們剛剛提到的三個前提，也就是說，當骰子擲下去的時候，發生的事情必然是 216 種組合的其中一種，而且必然只有一種，並且，每一種組合發生的可能性是一樣的。所以，我們可以用簡單的加減法和乘除法來作機率和數學期望值的計算。
首先，讓我們使用跟硬幣一樣的方式來看一看賭客和莊家雙方贏的機率。在這 216 種組合之中，每一粒都是有五種情況不符合賭客所押的數字，若三粒都不符合，就是莊家贏。這樣的組合有 5 * 5 * 5 = 125 種。也就是說，莊家贏的機率是 125/216。
反過來說，賭客贏的機率是 1 - 125/216 = 91/216 (就像我們前面已經算出來的)。
然而，我們剛剛才也說過了，機率不是答案，數學期望值才是答案。
現在，讓我們用更具體的例子，假設賭客押 216 元。這裡面有一個重要的觀點要釐清，就是賭客並不是像買彩票一樣把錢先繳納給莊家，如果是的話，那麼情況就應該是這樣：莊家已經收了彩票錢，在骰子擲出 (彩票開獎) 的時候不能再得錢，贏的數學期望值應該是零，而每一個賭客的數學期望值應該是 216 元才算公平對賭。
在押寶的情況，在骰子擲出之前賭客和莊家都沒有金錢的進出，賭客只是把 216 元放到檯面上作為一個宣告；那個錢的所有權還是賭客的，譬如說，如果大地震來襲讓賭場關門，則賭局作廢，那個錢是由賭客拿回去。在骰子擲出去以後，就有兩種可能的情況：如果賭客輸了，他就用桌面上屬於他的錢來付款，如果莊家輸了，也得從自己口袋中掏錢來付帳。所以，是不是公平對賭，必須要用雙方的數學期望值來作比較。
莊家的情況比較簡單，因為他贏的話就一定是贏 216 元，而我們算過，他贏的機率是 125/216，所以，他在這一把的贏面的數學期望值是 216元 * 125/216 = 125元。
問題是，他也可能輸，否則，他只要一直丟骰子，很快就發財了！所以，我們也要算賭客贏的數學期望值。賭客的情況遠較莊家複雜，因為他可能贏一、二、或三倍，所以，我們必須算出賭客贏一倍、二倍、三倍各自的數學期望值。
首先，怎麼算出贏一倍的數學期望值？也就是說，只有一粒的數字符合，其它兩粒都不對。
A 對 (只有一種可能)，B 和 C 不對 (各有五種可能) 的組合，數目是 1 * 5 * 5 = 25 種；B 對、A 和 C 不對，C 對、A 和 B 不對，都是同樣的情況，因此，在 216 種可能的組合之中，一粒 (且只有一粒) 對的組合是 3 * 25 = 75 種。
只有一粒對，賭客贏 216 元，所以他在這邊所得到的數學期望值是 216元 * 75/216 = 75元。
再算二粒對的數學期望值。
假設是 A 和 B 對，C 不對：A 對的可能只有一種，B 對的可能也只有一種，C 不對的可能則有五種，因此，這有 1 * 1 * 5 = 5 種組合。同理，A、C 對而 B 不對的也是五種，A 不對而 B、C 對的也是五種，因此，二粒 (且只有二粒) 對的組合是 3 * 5 = 15 種。
二粒對，賭客贏 216元 * 2 = 432元，因此，他在這邊得到的數學期望值是 432元 * 15/216 = 30元。
三粒都對的組合只有一種 (所以機率是 1/216！)，而賠率是三倍，所以賭客贏 216元 * 3 = 648 元，因此，他在這邊得到的數學期望值是 648 * 1/216 = 3元。
再綜合一次，在總共 216 種情況之中，125 種是莊家贏 216 元，75 種是賭客贏 216 元，15 種是賭客贏 432 元，1 種是賭客贏 648 元。再強調一次，216 種情況，每一種出現的可能性是一樣的。
我們假設賭客每次都押 216 元，莊家擲了 n 把。由於莊家贏的機率是 125 / 216，所以就機率來講，莊家會贏 n * (125 / 216) 次，而每一次他贏 216 元，所以他會贏 n * 125 元；同時，就機率來講，賭客會贏 n * (91 / 216) 次，但是他每次贏的錢不一樣，所以他贏的錢應該是 n * (75 / 216) * 216 + n * (15 / 216) * 432 + n * (1 / 216) * 648 元。也就是說，他會贏回 n * 108 元。
結論：賭客如果押 216 元，莊家三粒骰子擲下去，賭客每一把的數學期望值是輸 17 元！或者換句話說，莊家對賭客的贏面是 125/108。如果長期賭下去，賭得越久，越可能符合這個結果。
話說回來，就老五賭這種押寶的記憶所及，不管是作莊或作賭客都從來沒有贏過，而儘管作莊的數學期望值比較高，某一年一位朋友作莊連續通賠十多把 (每一個賭客都連贏十多把！) 的往事也一直為人津津樂道！所以，賭運往往比算數學期望值要重要，這是絕不會錯的。
話再說回來，俗語說 "久賭無輸贏"，意思就是說，賭運多半有起伏，經過太多次的賭博以後，賭運多半就被平均了；只要是公平對賭，多半不會有輸贏。在經營賭場的情況，是由更多的次數組合成的結果，所以跟數學所算出來的結果更是不會有太大的出入；只要在設計上贏的機率比較大，就有近乎絕對的獲利把握。當然，對賭客來說，就變成了 "久賭必輸"。